已知点O、Q0和点R0，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|

题文

已知点O（0，0）、Q₀（0，1）和点R₀（3，1），记Q₀R₀的中点为P₁，取Q₀P₁和P₁R₀中的一条，记其端点为Q₁、R₁，使之满足（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，记Q₁R₁的中点为P₂，取Q₁P₂和P₂R₁中的一条，记其端点为Q₂、R₂，使之满足（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，得到P₁，P₂，…，P_n，…，则limn→∞|Q0Pn|=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，所以第一次只能取P₁R₀一条，（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，则Q₁、R₁；Q₂、R₂，…中必有一点在（3， 1）的左侧，一点在右侧，由于P₁，P₂，…，P_n，…，是中点，根据题意推出P₁，P₂，…，P_n，…，的极限为：（3， 1），所以limn→∞|Q0Pn|=|Q₀P₁|=3，
故答案为：3．

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。