已知f=2，又数列{an}中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn-

题文

已知f（x）=（x+2）²（x≥0），又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，这个数列的前n项和的公式S_n（n∈N^*）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=an+12+an22an+1an（n∈N^*），求证limn→∞（b₁+b₂+…+b_n-n）=1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=（x+2）²，
∴S_n=（Sn-1+2）²．
∴Sn-Sn-1=2．又a1=2，
故有Sn=2+（n-1）2=n2，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
当n=1时，a₁=2，适合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n=an+12+an22an+1an=1+12n-1-12n+1，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-12n+1．
从而limn→∞（b₁+b₂++b_n-n）=limn→∞（1-12n+1）=1．

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=（x+2）2（x≥0），又.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。