已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2nan+1．求通项an；设A=limn→+∞3an2an+1，证明：对任意m≥2，且m∈

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=an2nan+1（n∈N^*）．
（1）求通项a_n；
（2）设A=limn→+∞3an2an+1，证明：对任意m≥2，且m∈N^*，都有A∈＞(1+1m)m．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）由于a₁=1，a_n+1=an2nan+1，可得1an+1-1an=2ⁿ，
∴1a1=1，1a2-1a1=2，1a3-1a2=22，1a4-1a3=23，…，1an-1an-1=2n-1，
累加可得1an=1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1，故有a_n=12n-1．
（2）A=limn→+∞3an2an+1=limn→∞3(2n+1-1)2(2n-1)=limn→∞3(2-12n)2(1-12n)=3×22=3，
而(1+1m)m的通项公式为 T_r+1=Ckn•1mk=m(m-1)(m-2)…(m-k+1)k!•1mk≤1k!，
∴(1+1m)m≤10！+11！+12！+13!+…+1m!
≤1+1+12×1+13×2+14×3+…+1m(m-1)=1+1+（1-12）+（12-13）+（13-14）+…+（1m-1-1m）
=1+1+（1-1m）＜3，
故对任意m≥2，且 m∈N^*，都有A＞(1+1m)m．

解析

an2nan+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。