设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32，又limn→+∞(b1+b2+…+bn)=2+1．试求{an

题文

设{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，且b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²（a₁＜a₂），又limn→+∞(b1+b2+…+bn)=2+1．试求{a_n}的首项与公差． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设所求公差为d，∵a₁＜a₂，∴d＞0．
由此得a₁²（a₁+2d）²=（a₁+d）⁴，化简得2a₁²+4a₁d+d²=0
解得d=（-2±2） a₁．…（5分）
而-2±2＜0，故a₁＜0．
若d=（-2-2）a₁，则q=a22a21=(2+1)2；
若d=（-2+2）a₁，则q=a22a21=(2-1)2；…（10分）
但limn→+∞(b1+b2+…+bn)=2+1存在，故|q|＜1．于是q=(2+1)2不可能．
从而a211-(2-1)2=2+1⇒a21=(22-2)(2+1)=2．
所以a₁=-2，d=（-2+2） a₁=（-2+2）（-2）=22-2．…（20分）

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“设{an}为等差数列，{bn}为等比数列.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。