已知等差数列{an}的首项a1=0且公差d≠0，bn=2^an，Sn是数列{bn}的前n项和．求Sn；设Tn=Snbn

题文

（文）已知等差数列{a_n}的首项a₁=0且公差d≠0，b_n=2^an（n∈N^*），S_n是数列{b_n}的前n项和．
（1）求S_n；
（2）设T_n=Snbn（n∈N^*），当d＞0时，求limn→+∞Tn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（文）（1）a_n=（n-1）d，b_n=2^an=2^（n-1）d（4分）
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2⁰+2^d+2^2d+…+2^（n-1）d
由d≠0得2^d≠1，∴S_n=1-(2d)n1-2d．                            （8分）
（2）T_n=Snbn=1-(2d)n1-2d2(n-1)d=1-2nd2(n-1)d-2nd，（10分）
∴limn→∞Tn= limn→∞1- 2nd2nd-d-2nd=limn→∞1-(2d)n(2d)n-1-(2d)n
=limn→∞12dn-112d-1=2d2d-1

解析

1-(2d)n1-2d

考点

据考高分专家说，试题“（文）已知等差数列{an}的首项a1=0.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。