在直角坐标系中，已知点列P1，P2，P3，…，Pn，…，其中n是正整数．连接P1P2的直线与x轴

题文

在直角坐标系中，已知点列P₁（1，-12），P₂（2，122），P₃（3，-123），…，P_n（n，(-12)n），…，其中n是正整数．连接P₁ P₂的直线与x轴交于点X₁（x₁，0），连接P₂ P₃的直线与x轴交于点X₂（x₂，0），…，连接P_n P_n+1的直线与x轴交于点X_n（x_n，0），…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）依次记△X₁P₂X₂的面积为S₁，△X₂P₃X₃的面积为S₃，…，△X_nP_n+1X_n的面积为S_n，…试求无穷数列{S_n}的各项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵P_n（n，(-12)n），P_n+1（n+1，(-12)n+1），
∴直线P_nP_n+1的方程为：y-(-12)nx-n=(-12)n+1-(-12)n(n+1)-n=(-32) (-12)n，
∴令y=0，得-(-12)n=(-32) (-12)n(x-n)，
整理，得x-n=23，
∴x_n=x=n+23．
即xn=n+23，n∈N*．
（2）由题设条件能够导出Sn=12n+2，
∴数列{a_n}是首项为18，公比为12的等比数列，
∴S=limn→∞S_n=181-12=14．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标系中，已知点列P1（1，-12.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。