我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x，使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=.x

题文

我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=.x～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)．如：A=.2～(-1)(3)(-2)(1)，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，ak+1=11-ak，k∈N*，bn=.2～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=.t～(C1n)(C2n)(C3n)…(Cn-1n)(Cnn)，求limn→∞dndn+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³（1分）
则m=.x～(1)(-2)(3)(-6)（3分）
（2）a2=-1，a3=12，a4=2，a5=-1，a6=12
∵an+1=11-an∴an+2=11-an+1=11-11-an=1-an-an
∴an+3=11-an+2=11+1-anan=a_n（n∈N*），知{a_n}是周期为3的数列     （6分）
假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立，则：bn=.2～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
=[2+(-1)×2+12×22]+[2×23+(-1)×24+12×25]+…+[2×23n-3+(-1)×23n-2+12×23n-1]=[2+(-1)×2+12×22]×(1+23+26+…+23n-3)=2×1-8n1-8=27×8n-27
∴p=27，q=-27．
即存在实常数p=27，q=-27，对于任意的n∈N*，bn=27•8n-27总成立    （10分）
（3）dn=C1n+C2nt+C3nt2+C4nt3…+Cnntn-1=C1nt+C2nt2+C3nt3+…+Cnntnt=[C0n+C1nt+C2nt2+C3nt3+…+Cnntn]-1t=(1+t)n-1t（14分）
∴limn→∞dndn+1=limn→∞(1+t)n-1(1+t)n+1-1=11+t|1+t＞11|1+t＜1，即limn→∞dndn+1=11+t，t＞01，-1＜t＜0（18分）

解析

.x～(1)(-2)(3)(-6)

考点

据考高分专家说，试题“我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。