已知等比数列{an}的公比为q，Sn是{an}的前n项和．若a1=1，q＞1，求limn→∞anSn的值；若a1=1；对①q=12和②q=-12时，

题文

已知等比数列{a_n}的公比为q，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，q＞1，求limn→∞anSn的值；
（2）若a₁=1；对①q=12和②q=-12时，分别研究S_n的最值，并说明理由；
（3）若首项a₁=10，设q=1t，t是正整数，t满足不等式|t-63|＜62，且对于任意正整数n有9＜S_n＜12成立，问：这样的数列{a_n}有几个？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）Sn=(1-qn)1-q，则limn→∞anSn=limn→∞qn-1(1-qn)1-q=limn→∞1q•qn-qn1-qn=limn→∞1q-1(1q)n-1=q-1q----（5分）
（2）当q=12时，Sn=2-(12)n-1，所以S_n随n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，
此时S_n有最小值为1，但无最大值．-------------------------------（3分）
（只给出答案而不能够说明理由的，得1分）
当q=-12时，Sn=23[1-(-12)n]
若n=2k，k∈N^*时，Sn=23[1-(14)k]，所以S_n随k的增大而增大，
即n是偶数时，S2≤Sn＜23，即12≤Sn＜23
若n=2k-1，k∈N^*时，Sn=23[1+2(14)k]，所以S_n随k的增大而减小，
即n是奇数时，23＜Sn≤S1，即23＜Sn≤1
所以12≤Sn≤1，S_n有最大值为1，最小值为12．---（4分）
（只给出答案而不能够说明理由的，得1分）
（3）|t-63|＜62⇒-62＜t-63＜62⇒1＜t＜125⇒q=1t∈(0，1)．
Sn=a1(1-qn)1-q=10[1-(1t)n]1-1t且S_n随着n的增大而增大limn→∞Sn≤12⇒101-1t≤12-----------------------（3分）⇒56≤1-1t⇒1t≤16⇒t≥6⇒t∈[6，125)-----------------------------（2分）
t∈N^*⇒124-6+1=119个．----------------------------------------（1分）

解析

(1-qn)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的公比为q，Sn是{.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。