已知f(x)=1x+2，点A0表示原点，点An），θn是向量an与向量i=(1，0)的夹角，an=A0A1+A1A2+A2A3+…+A

题文

已知f(x)=1x+2，点A₀表示原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量an与向量i=(1，0)的夹角，an=A0A1+A1A2+A2A3+…+An-1An，设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，则limn→∞Sn=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由向量求和知an=A0A1+A1A2+A2A3+…+An-1An=.A0An，
又有f(x)=1x+2，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），
向量an与向量i=(1，0)的夹角为θ_n即线段A₀A_n与x轴夹角也为θ_n，
由此可知tanθ_n=f(n)n=1n+2n=1n×(n+2)，
又设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，
由tanθ_n=1n×(n+2)=（1n-1n+2）×12，
利用数列裂项相消求和公式可得：
S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=12×（1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2）=12×（1+12-1n+1-1n+2）．
∴limn→∞Sn=34．
故答案为：34．

解析

an

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=1x+2，点A0表示原点，.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。