已知向量a=(x2+1，-x)，b=(1，2n2+1) ，函数f(x)=a•b，设f在上取最小值时的自变量x取值为an．（

题文

（理）已知向量a=(x2+1，-x)，b=(1，2n2+1) （n为正整数），函数f(x)=a • b ，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，对任意正整数n，都有b_n•（4a_n²-5）=1成立，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求limn→∞Sn；
（3）在点列A₁（1，a₁）、A₂（2，a₂）、A₃（3，a₃）、…、A_n（n，a_n）、…中是否存在两点A_i，A_j（i，j为正整数）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=(x2+1)-2xn 2+1…（2分）
函数y=f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为x=n2+1＞0，
开口向上，在（0，+∞） 上，当x=n2+1 时函数取得最小值，
所以an=n2+1；…（4分）
（2）将（1）中{a_n}的表达式代入，得bn=14(n2+1)-5=14n2-1=1(2n+1)(2n-1)=12[12n-1-12n+1]．…（6分）
∴Sn=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]，…（8分）
所以所求的极限为：limn→∞Sn=limn→∞12(1-12n+1)=12；…（10分）
（3）任取A_i、A_j（i、j∈N^*，i≠j），设A_iA_j 所在直线的斜率为k_ij，
则 kij=ai-aji-j=i2+1-j2+1i-j=i2-j2(i-j)(i2+1+j2+1)=i+ji2+1+j2+1＜1．
因此不存在满足条件的数对（i，j），使直线A_iA_j的斜率为1．…（16分）

解析

n 2+1

考点

据考高分专家说，试题“（理）已知向量a=(x2+1，-x)，b.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。