已知α、β为实数，给出下列三个论断：①|α-β|≤|α+β|②|α+β|＞5③|α|＞22，|β|＞22以其中的两个论断为条件，另一个论断为结

题文

（任选一题）
（1）已知α、β为实数，给出下列三个论断：
①|α-β|≤|α+β|②|α+β|＞5  ③|α|＞22，|β|＞22
以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是______．
（2）设{a_n}和{b_n}都是公差不为零的等差数列，且limn→∞anbn=2，则limn→∞b1+b2+…+bnna2n的值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由①|α-β|≤|α+β|知，α，β同号，故|α+β|=|α|+|β|，
又由③|α|＞2 2，|β|＞2 2可得|α+β|＞4 2，
又4 2≈5.6＞5，
所以有|α+β|＞5成立，
综上知①③推出②，
故答案为①③⇒②．
（2）设{a_n}和{b_n}的公差分别为d₁ 和d₂，
∵limn→∞anbn=limn→∞a1+(n-1)d1b1+(n-1)d2=d1d2=2，∴d₁=2d₂．
limn→∞b1+b2+…+bnna2n=limn→∞nb1+n(n-1)2d2n[a1+(2n-1)d1 ]=d222×d1=d24d1=18，
故答案为：18．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“（任选一题）（1）已知α、β为实数，给出.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。