已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=32，a2=2，且Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0，其中n≥2，n∈N*．求数列{an}的通项公式an；

题文

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a1=32，a₂=2，且S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0，其中n≥2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）（理科）计算limn→∞Sn-nan的值．
（文科）求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①∵S_n+1-3S_n+2S_n-1+1=0⇒S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1⇒a_n+1=2a_n-1（n≥2）（（2分））
又a1=32，a₂=2也满足上式，
∴a_n+1=2a_n-1（n∈N^*）⇒a_n+1-1=2（a_n-1）（n∈N^*）
∴数列{a_n-1}是公比为2，首项为a1-1=12的等比数列（4分）
an-1=12×2n-1=2n-2（（6分））
②S_n=a₁+a₂++a_n=（2^-1+1）+（2⁰+1）+（2¹+1）++（2^n-2+1）
②S_n=a₁+a₂++a_n=（2^-1+1）+（2⁰+1）+（2¹+1）++（2^n-2+1）
=（2^-1+2⁰+2¹+2^n-2）+n=2n-12+n（9分）
于是limx→∞Sn-nan=limx→∞2n-12n-1+2=limx→∞1-12n12+22n=2（12分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。