等差数列{bn}的首项为1，公差为2，数列{an}与{bn}且满足关系式bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n，奇函数f定义

题文

等差数列{b_n}的首项为1，公差为2，数列{a_n}与{b_n}且满足关系式bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n（n∈N^*），奇函数f（x）定义域为R，当x＜0时，f(x)=-qxqx+p-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若q＞0，且limn→∞f(an)=0，求证p+q＞2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当x=0时，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0，
当x＞0时，f(x)=-f(-x)=qxq-x+p-1=1(p-1)•qx+1，
所以，f（x）=-qxqx+p-1      x＜00                    x=01(p-1)•qx+1    x＞0．
（2）当n=1时，a₁=b₁=1；由题意可得 b_n=1+（n-1）2=2n-1．
当n≥2时，由于n(n+1)2bn=a1+2a2+3a3+…+nan，
所以(n-1)n2bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，
相减计算得a_n=3n-2，
检验得a_n=3n-2（n∈N^*）．
（3）由于f（x）=-qxqx+p-1     x＜00                    x=01(p-1)•qx+1   x＞0 的定义域为R，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0，
所以 limn→∞f(an) =limn→∞1(p-1)•q-2 (q3)n+1=1         0＜q3＜11p     q3 =10         q3＞1．
由于limn→∞f(an)=0，所以q³＞1，即q＞1，因此，p+q＞2．

解析

qxq-x+p-1

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{bn}的首项为1，公差为2，数.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。