在等比数列{an}中，已知a1a2=32，a3a4=2，则limn→∞(a1+a2+…+an)=______．

题文

在等比数列{a_n}中，已知a₁a₂=32，a₃a₄=2，则limn→∞(a1+a2+…+an)=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，由a₁a₂=32，a₃a₄=2，得：a12q=32①a12q5=2②，
②÷①得：q4=232=116=(12)4，所以，q=±12．
当q=12时，代入①得，a₁=±8．
当q=-12时，不合题意（舍）．
所以，当a₁=8，q=12时，an=a1qn-1=8×(12)n-1．
则limn→∞(a1+a2+a3+…+an)=limn→∞(8+8×12+8×14+…+8×(12)n-1)
=limn→∞8×(1-(12)n)1-12=limn→∞16×(1-(12)n)=16．
当a₁=-8，q=-12时，an=a1qn-1=-8×(12)n-1．
则limn→∞(a1+a2+a3+…+an)=limn→∞-(8+8×12+8×14+…+8×(12)n-1)
=-limn→∞8×(1-(12)n)1-12=-limn→∞16×(1-(12)n)=-16．
所以，limn→∞(a1+a2+…+an)=±16．
故答案为±16．

解析

a12q=32①a12q5=2②

考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，已知a1a2=32.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。