题文
（本题12分）已知数列{an}中，a1=0，a2 =4，且an+2-3an+1+2an= 2n+1（
），
数列{bn}满足bn=an+1-2an．
（Ⅰ）求证:数列{
-
}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{
}的通项公式；
（Ⅲ）求
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）由
an+2-3an+1+2an= 2n+1 得（an+2-2an+1）-（ an+1-2an）= 2n+1；
即 bn+1-bn = 2n+1，而 b1=a2-2a1=4， b2 =b1+22=8；
∴ { bn+1-bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ），bn+1-bn = 2n+1， b1=4，
∴ bn = （bn-bn-1）+ （bn-1-bn-2）+···+（b2-b1） + b1
=2n + 2n-1 +···+22 +4 = 2n+1． ………………………6分
即 an+1-2an=2n+1，∴
；
∴ {
}是首项为0，公差为1的等差数列，
则
，∴
． ………………………9分
（Ⅲ）∵
，
∴
． ………………………12分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题12分）已知数列{an}中，a1=.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限数列的极限定义（描述性的）：
如果当项数n无限增大时，无穷数列
的项an无限地趋近于某个常数a（即
无限地接近于0），a叫数列
的极限，记作
，也可记做当n→+∞时，an→a。
数列的极限严格定义：
即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足
，a叫数列
的极限。
数列极限的四则运算法则：
若
，则
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。
an无限接近于a的方式有三种：
第一种是递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，
；
第二种是递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是
；
第三种是摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，
。
一些常用数列的极限：
（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当
时，
；
（3）当|q|＜1时，
；当q＞1时，
不存在；
（4）
不存在，
。
（5）无穷等比数列{an}中，首项a1，公比q，前n项和Sn，各项之和S，则
（只有在0＜|q|＜1时）。
