已知数列{an}的前n项和，数列为等比数列，且首项b1和公比q满足：(I)求数列的通项公式;(II)设，记数列的前n项和，若不等式对任意恒成立,求实数的最大值.

题文

已知数列{a_n}的前n项和

，数列

为等比数列，且首项b₁和公比q满足：


(I)求数列

的通项公式;
(II)设

，记数列

的前n项和

，若不等式

对任意

恒成立,求实数

的最大值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=5．
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=n²+4n-(n-1)²-4(n-1)=2n+3，
验证n=1时也成立．
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n+3（n∈N*）．
∵


∴

 解得：b₁=2，q=3．
∴数列{b_n}的通项公式为：b_n=2·3^n-1．……………………………………5分
（Ⅱ）∵

，
∴ T_n= c₁+ c₂+ c₃+…+ c_n
=3+2·3²+3·3³+……+n·3ⁿ················ ①
3T_n=3²+2·3ⁿ+3·3⁴+……+n·3ⁿ⁺¹·············· ②
由①-②得：-2T_n=3+3²+……+3ⁿ-n·3ⁿ⁺¹
=




，
∴

．………………………………………………………8分
不等式λ(a_n-2n)≤4T_n可化为λ≤(2n-1)·3ⁿ+1，（*）
设f

(n)=(2n-1)·3ⁿ+1，
易知函数f (n)在n∈N^*上单调递增，
故当n=1时(2n-1)·3ⁿ+1取得最小值为4，
∴由题意可知：不等式(*)对一切n∈N^*恒成立，只需λ≤4．
∴实数λ的最大值为4．

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和，数列为等比数.....”主要考查你对 [数列的极限 ]考点的理解。 数列的极限

数列的极限定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列

的项a_n无限地趋近于某个常数a（即

无限地接近于0），a叫数列

的极限，记作

，也可记做当n→+∞时，a_n→a。

数列的极限严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切a_n都满足

，a叫数列

的极限。

数列极限的四则运算法则：

若

，则
（1）

，

；
（2）

，

；
（3）

。
前提条件：（1）各数列均有极限，（2）相加减时必须是有限个数列才能用法则。

a_n无限接近于a的方式有三种：

第一种是递增的数列，a_n无限接近于a，即a_n是在常数a的左边无限地趋近于a，如n→+∞时，

；
第二种是递减数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在常数a的右边无限地趋近于a，如n→+∞时，是

；
第三种是摆动数列，a_n无限地趋近于a，即a_n是在无限摆动的过程中无限地趋近于a，如n→+∞时，

。

一些常用数列的极限：

（1）常数列A，A，A，…的极限是A；
（2）当

时，

；
（3）当|q|＜1时，

；当q＞1时，

不存在；
（4）

不存在，

。
（5）无穷等比数列{a_n}中，首项a₁，公比q，前n项和S_n，各项之和S，则

（只有在0＜|q|＜1时）。