定义：若函数f对于其定义域内的某一数x0，有f=x0，则称x0是f的一个不动点。已知函数f=ax2+(b+1)x+b-1(a≠

题文

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点。
已知函数f（x）=ax²+(b+1)x+b-1(a≠0)。
(1) 当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
(2) 若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、 B的中点C在函数g（x）=-x+

的图象上，求b的最小值。
（参考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中点坐标为

）

答案

解：（1）f（x）=x²-x-3，
由x²-x-3=0，
解得x=3或x=-1，
所以所求的不动点为-1或3。
（2）令ax²+（b+1）x+b+1=x，
则ax²+bx+b-1=0，①
由题意，方程①恒由两个不等实根，
所以△=b²-4a（b-1）>0，
即b²-4ab+4a>0对任意的b∈R恒成立，
则△′=16a²-16a<0，故0（3）依题意，设

，
则AB中点C的坐标为

，
又AB的中点在直线

上，
∴

，
∴

，
又x₁，x₂是方程①的两个根，
∴

，
∴

，


，
∴

，
∴当

时，b_min=-1。

解析

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考点

一元二次方程的定义：

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：

。

一元二次方程的应用：

建立一元二次方程模型进行求解，把得到的答案带回实际问题中检验是否合理，来解决实际问题，如打折、营销、增长率问题等。

一元二次方程的根与系数的关系：

如果方程

的两个实数根是

，那么

。