已知关于x的方程x2-(k+1)x+14k2+1=0的两根是一个矩形两边的长．k取何值时，方程存在两个正实数根？当矩形的对角线长是5时，求k的值．

题文

已知关于x的方程x2-(k+1)x+14k2+1=0的两根是一个矩形两边的长．
（1）k取何值时，方程存在两个正实数根？
（2）当矩形的对角线长是5时，求k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设方程的两根为x₁，x₂
则△=（k+1）²-4（ 14k²+1）=2k-3，
∵方程有两个实数根，∴△≥0，即2k-3≥0，①
k+1＞0，②
14k2＞0    ③
∴综上可知k≥32
∴当k≥32，方程有两个正实数根．
（2）由题意得：x1+x2=k+1x1x2=14k2+1，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（ 14k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值为2．
k≥32

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知关于x的方程x2-(k+1)x+14.....”主要考查你对 [一元一次方程及其应用 ]考点的理解。 一元一次方程及其应用

一元一次方程的定义：

在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。

一元一次方程标准形式:

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。

一元一次方程的分类：

1、总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x+2x+3x=62、等式两边都含未知数。如：302x+400=400x，40x+20=60x.

方程特点:

（1）方程为整式方程。
（2）方程有且只含有一个未知数。
（3）方程中未知数的最高次数是1。

一元一次方程判断方法:

通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为ax+b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

一元一次方程必须同时满足4个条件：

⑴它是等式；
⑵分母中不含有未知数；
⑶未知数最高次项为1；
⑷含未知数的项的系数不为0。