已知函数f=a•4x-2x+1+a+3．若a=0，解方程f=-5；若a=1，求f的单调区间；若存在实数x0∈[-1，1]，

题文

已知函数f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3．
（1）若a=0，解方程f（2x）=-5；
（2）若a=1，求f（x）的单调区间；
（3）若存在实数x₀∈[-1，1]，使f（x₀）=4，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若a=0，由f（2x）=-5，即-2^2x+1+3=-5，
∴2^2x+1=8，∴2^2x+1=2³，
∴2x+1=3
∴x=1（2分）
（2）若a=1，则f（x）=4^x-2^x+1+4，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=4x2-2x2+1+4-(4x1-2x1+1+4)=(4x2-4x1)-2(2x2-2x1)=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)
∵2x2-2x1＞0
①当x₁，x₂∈[0，+∞）时，有2x2+2x1-2＞0，
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数；
②当x₁，x₂∈（-∞，0]时，有2x2+2x1-2＜0，
∴(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，0]上是减函数
∴f（x）的单调增区间是[0，+∞），单调减区间是（-∞，0]（7分）
（3）设2^x=t，由x₀∈[-1，1]，得t∈[12，2]，且f（x）=a•4^x-2^x+1+a+3=a•t²-2t+a+3
∴存在t∈[12，2]，使得a•t²-2t+a+3=4，即a•t²-2t+a-1=0
令g（t）=a•t²-2t+a-1，
若a=0，由f（x₀）=4，无解．
若a≠0，则函数g（t）的对称轴是t=1a
由已知得方程g（t）=0在t∈[12，2]上有实数解
∴g(12)g(2)≤0或

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a•4x-2x+1+a.....”主要考查你对 [一元一次方程及其应用 ]考点的理解。 一元一次方程及其应用

一元一次方程的定义：

在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程。注：主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。

一元一次方程标准形式:

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b为常数，x为未知数，且a≠0）。其中a是未知数的系数，b是常数，x是未知数。未知数一般设为x，y，z。

一元一次方程的分类：

1、总量等于各分量之和。将未知数放在等号左边，常数放在右边。如：x+2x+3x=62、等式两边都含未知数。如：302x+400=400x，40x+20=60x.

方程特点:

（1）方程为整式方程。
（2）方程有且只含有一个未知数。
（3）方程中未知数的最高次数是1。

一元一次方程判断方法:

通过化简，只含有一个未知数，且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫一元一次方程。要判断一个方程是否为一元一次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为ax+b=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元一次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。

一元一次方程必须同时满足4个条件：

⑴它是等式；
⑵分母中不含有未知数；
⑶未知数最高次项为1；
⑷含未知数的项的系数不为0。