已知数列{an}满足：a1=1，a2=a，数列{bn}满足bn=anan+1=若{an}是等差数列，且b3=12，

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a>0），数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1=（n∈N*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n^；
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a-1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）∵

是等差数列

，

，b_n=a_na_n+1，b₃=12
∴b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12 ，
即d=1或d=-


又因a=

=1+d>0
∴d=1
∴a_n=n；
（Ⅱ）

=

，

=


S_n=




（Ⅲ）

不能为等比数列，理由如下：
∵

=a_na_n+1，{b_n}是公比为-1的等比数列
∴


∴


假设

为等比数列，由a₁=1，a²=a得a₃=a²，所以a₂=a-1
因此此方程无解，所以数列一定不能等比数列。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。