已知数列{an}中Sn是它的前n项和，且Sn+1=4an+2，a1=1。设bn=an+1-2an，证明：数列{bn}为等比数

题文

已知数列{a_n}中S_n是它的前n项和，且S_n+1=4a_n+2（n∈N*），a₁=1。
 （1）设b_n=a_n+1-2a_n（n∈N*），证明：数列{b_n}为等比数列；
 （2）设c_n=

（n∈N*），证明：数列{c_n}为等差数列；
 （3）求S_n=a₁+a₂+…+a_n。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由S_n+1=4a_n+2，得a_n+1=S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2）（n≥2）
∴a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1）
故数列{a_n+1-2a_n} 是以a₂-2a₁为首项，2为公比的等比数列，又a₁=1，a₁+a₂=S₂=4a₁+2，
所以a₂=5
∴b_n=a_n+1-2a_n=3·2^n-1；
（2）将a_n+1-2a_n=3·2^n-1两边同除以2ⁿ⁺¹，则



，即


故{c_n}是以

为首项，

为公差的等差数列；
（3）由（2）知

，得a_n=（3n-1）·2^n-2
又S_n=4a_n-1+2，则S_n=4（3n-4）·2^n-3+2=（3n-4）·2^n-1+2。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中Sn是它的前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。