在数列{an}与{bn}中，a1=1，b1=4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0，2an+1为bn与bn+1的等比中项，n∈N

题文

在数列{a_n}与{b_n}中，a₁=1，b₁=4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-(n+3)S_n=0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，n∈N*，
（Ⅰ）求a₂，b₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设

，n∈N*，证明|T_n|＜2n²，n≥3。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）解：由题设有

，a₁=1，解得

，
由题设又有

，b₁=4，解得

；
（Ⅱ）解：由题设

，a₁=1，b₁=4，及

，

，
进一步可得

，
猜想

，

，n∈N*，
先证

，n∈N*，
当n=1时，

，等式成立；
当n≥2时用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，

，等式成立；
（2）假设n=k时等式成立，即

，k≥2，
由题设，

， ①


，②
①的两边分别减去②的两边，整理得

，
从而

．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式

对任何的n≥2成立．
综上所述，等式

对任何的n∈N*都成立；
再用数学归纳法证明

，n∈N*。
（1）当n=1时，

，等式成立；
（2）假设当n=k时等式成立，即

，那么

，
这就是说，当n=k+1时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式

对任何的n∈N*都成立．
（Ⅲ）证明：

，
当n=4k，k∈N*时，

，
注意到

，
故




，
当n=4k-1，k∈N*时，


；
当n=4k-2，k∈N*时，


；
当n=4k-3，k∈N*时，


；
所以

；
从而n≥3时，有

，
总之，当n≥3时，有

，即

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}与{bn}中，a1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。