已知在数列{an}中，，当n≥2时，3an+1=4an-an-1(n∈N*)，(1)证明：{an+1-an}为等比数列；(2)求数列{an}的通项；

题文

已知在数列{a_n}中，

，当n≥2时，3a_n+1=4a_n-a_n-1(n∈N*)，
(1)证明：{a_n+1-a_n}为等比数列；
(2)求数列{a_n}的通项；
(3)若数列{b_n}满足b_n=n·a_n，求{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)证明：∵在数列{a_n}中，

，
当n≥2时，3a_n+1=4a_n-a_n-1(n∈N*)，
∴当n≥2时，

，
即



，
所以{a_n+1-a_n}是以

为首项，以

为公比的等比数列．
(2)解：由(1)知

，
故



，


，
累加得

，
所以

。
(3)解：∵

，
∴











。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知在数列{an}中，，当n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。