设数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=2n2+3n+1，n∈N*。求数列{an}的通项公式an；设数列的前n项和为T

题文

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=2n²+3n+1，n∈N*。
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列

的前n项和为T_n，是否存在最大正整数β，使得对[1，β+1）内的任意n∈N*，不等式T_n＜

恒成立？若存在，求出β的值；若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由


得




∴


∴


∴


当n=1时，S₂=6
∵a₁=1
∴a₂=5
∵a₁=1，a₂=5同样适用


∴数列{a_n}的通项公式

。
（2）∵


∴


∵

在

内单调递增
∴


∴


∵β∈N*，
∴β≤15
∴存在满足条件的最大正整数β=15，使不等式

恒成立。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的首项a1=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。