已知数列{an}的前n项和Sn满足(p-1)Sn=p2-an(p＞0，p≠1)，且a3=，(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=，数列{bn

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足(p-1)S_n=p²-a_n(p＞0，p≠1)，且a₃=

，
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n=

，数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n，若对于任意的正整数n，都有T_n＜m²-m+

成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)由题设知(p-1)a₁=p²-a₁，解得p=a₁或p=0(舍去)，
由条件可知(p-1)S₂=(p-1)(a₁+a₂)=p²-a₂，解得a₂=1，
再由(p-1)S₃=(p-1)(a₁+a₂+a₃)=p²-a₃，解得a₃=

，
由a₃=

可得

=

，故p=3=a₁，
所以2S_n=9-a_n，则2S_n+1=9-a_n+1，
以上两式作差得2(S_n+1-S_n)=a_n-a_n+1，
即2a_n+1=a_n-a_n+1，故a_n+1=

a_n，
可见，数列{a_n}是首项为3，公比为

的等比数列，
故a_n=3(

)^n-1=3^2-n；
(2)因为b_n=

，
所以b_nb_n+2=

，
T_n=b₁b₃+b₂b₄+b₃b₅+…+b_nb_n+2





，
故要使T_n＜m²-m+

恒成立，只需

，
解得m≤0或m≥1；
故所求实数m的取值范围为(-∞，0]∪[1，+∞)．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。