已知数列{an}中，a1=1，且点P在直线x-y+1=0上。求数列{an}的通项公式；若函数（n∈N，且n≥2

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数

（n∈N，且n≥2），求函数f（n）的最小值；
（3）设b_n=

，S_n表示数列{b_n}的前n项和。试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）·g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？ 若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

答案

解：（1）由点P在（a_n，a_n+1）直线x-y+1=0上，
即

，且

，
数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，


，

同样满足，
所以

；
（2）

，


，


，
所以f（n）是单调递增，故f（n）的最小值是

；
（3）

，
可得

，


，


，
……


，


，


，n≥2 ，


，
故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立。

解析

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考点

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。