已知数列{an}是首项为，公比的等比数列，设，数列{cn}满足cn=an·bn．求证：{bn}是等差数列；求数列{cn}的前n项和Sn；

题文

已知数列{a_n}是首项为

，公比

的等比数列，设

，
数列{c_n}满足c_n=a_n·b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若

对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意知，a_n=（

）ⁿ．
∵

，


∴b₁=1∴b_n+1﹣b_n=3

a_n+1
=3

a_n
=3




=3

q
=3
∴数列{b_n}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，a_n=（

）ⁿ．b_n=3n﹣2
∴C_n=（3n﹣2）×（

）ⁿ．
∴Sn=1×

+4×（

）²+…+（3n﹣2）×（

）ⁿ，
于是

S_n=1×（

）2+4×（

）3+…（3n﹣2）×（

）ⁿ⁺¹，
两式相减得


S_n=

+3×[（

）²+（

）³+…+（

）ⁿ）﹣（3n﹣2）×（

）ⁿ⁺¹，
=

﹣（3n﹣2）×（

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=

﹣

（

）ⁿ⁺¹
（3）∵C_n+1﹣C_n=（3n+1）×（

）ⁿ⁺¹﹣（3n﹣2）×（

）ⁿ=9（1﹣n）×（

）ⁿ⁺¹，
∴当n=1时，C₂=C₁=


又


∴

≥


即m²+4m﹣5≧0
解得m≧1或m≤﹣5．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为，公比的等.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。