已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，且．求a2，a3的值；求证：是等差数列；若，求数列{bn}的前n项和．

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，且

．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：

是等差数列；
（Ⅲ）若

，求数列{b_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，且

．
∴a_n+1·a_n（a_n+1+a_n）+（a_n+1+a_n）（a_n+1﹣a_n）=0
（a_n+1+a_n）（a_n+1·a_n+a_n+1﹣a_n）=0
∴a_n+1·a_n+a_n+1﹣a_n=0
∴

+1=0；
∴

=1．①
（Ⅰ）∵

=1+

=2
∴a₂=

；同理：a₃=

．
（Ⅱ）由①得

是首项为1，公差为1的等差数列；
∴

=1+（n﹣1）×1=n；
∴a_n=

．
（Ⅲ）∵

=2ⁿ+

；
{n·2ⁿ}的和S_n=1·2¹+2·2²+…+n·2ⁿ …①，
2·S_n=2·2¹+3·2²+…+n·2ⁿ+1 …②，
∴①﹣②得﹣S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ﹣n·2ⁿ⁺¹
∴﹣S_n=

﹣n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n﹣1）2ⁿ⁺¹+2；
{

}的和为：T_n=（1﹣

）+（



）+…+（

）=1﹣

=

．
∴数列{b_n}的前n项和为：S_n+T_n=（n﹣1）2ⁿ⁺¹+2+

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}满足.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。