已知数列{an}的前n项和Sn，且，其中a1=1，an≠0，求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；求证：数列{an}是等差数列；（

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且

，其中a₁=1，a_n≠0，
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足

，T_n为{b_n}的前n项和，
求证：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N*． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）解：

，
∴a₂=2，a₃=3，a₄=4
（2）证明：已知式即

，故


因为a_n≠0，当然a_n+1≠0，所以a_n+2﹣a_n=2（n∈N*）．
由于

，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m﹣1=1+2（m﹣1）=2m﹣1，a_2m=2+2（m﹣1）=2m，
所以a_n=n（n∈N*）．
（3）解：由

，
得

，

故

．
从而

.


．
因此


=


=


设


故

．
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地

，
从而2T_n﹣log_{2 ^(2an⁺¹⁾} =log₂ f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂ (2a_n+1)，n∈N*．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。