等差数列{an}中，首项a1=1，公差d≠0，前n项和为Sn，已知数列，，，…，，…成等比数列，其中k1=1，k2=2，k3=5．求数列{an

题文

等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d≠0，前n项和为S_n，已知数列

，

，

，…，

，…成等比数列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{k_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

，数列{b_n}的前n项和为T_n．若存在一个最小正整数M，使得当n＞M时，S_n＞4T_n（n∈N*）恒成立，试求出这个最小正整数M的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由a₂²=a₁a₅，得（1+d）2=1（1+4d），
解得d=2，
∴a_n=2n﹣1，
∴

=2k_n﹣1，在等比数列中，公比q=

=3，
∴

=3 ^n﹣1，∴2k_n﹣1=3^n﹣1，解得k_n=

．
（Ⅱ）b_n=

=

，则


+

+…+

，


T_n=

+…+

+

，
两式相减得：

T_n=1+

+…+

﹣

=2﹣

，
∴T_n=3﹣


∵T_n+1﹣T_n=

＞0，
∴T_n单调递增，
∴1≤Tn＜3．
又

在n∈N*时单调递增．
且S₁=1，4T₁=4；S₂=4，4T₂=8；S₃=9，4T₃=

；S₄=16＞12，4T₄＜12；…．
n＞3时，S_n＞4T_n恒成立，则所求最小正整数M的值为3．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，首项a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。