已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+S n﹣2=2S n﹣1+2n﹣1．令bn=．求数列{an}的通项公式；（

题文

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S _n﹣2=2S _n﹣1+2n﹣1（n≥3）．
令b_n=

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜

（n≥1）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）由题意知S_n﹣S _n﹣1=S _n﹣1﹣S _n﹣2+2 ^n﹣1（n≥3）
即a_n=a _n﹣1+2 ^n﹣1（n≥3）
∴a_n=（a_n﹣a _n﹣1）+（a _n﹣1﹣a _n﹣2）+…+（a₃﹣a₂）+a₂
         =2 ^n﹣1+2 ^n﹣2+…+2²+5=2ⁿ+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1．
（Ⅱ）由于


                                   =

=

．
故T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
       =




      =

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=3，a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。