已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列an的前n项和，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan2+pan﹣p 求常数p的值；

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列a_n的前n项和，对任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n﹣p（p∈R）
（1）求常数p的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记

，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵a₁=1，对任意的n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n﹣p
∴2a₁=2pa₁²+pa₁﹣p，
即2=2p+p﹣p，解得p=1；
（2）2S_n=2a_n²+a_n﹣1，①
2S _n﹣1=2a_n﹣1 ²+a_n﹣1﹣1，（n≥2），②
①﹣②即得（a_n﹣a_n﹣1﹣

）（a_n+a_n﹣1）=0，
因为a_n+a_n﹣1≠0，所以a_n﹣a _n﹣1﹣

=0，
∴


（3）2S_n=2a_n²+a_n﹣1=2×

，
∴S_n=

，
∴

=n

2ⁿ
T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ③
又2T_n=1×2²+2×2³+…+（n﹣1）×2ⁿ+n×2 ⁿ⁺¹ ④
由④﹣③得，T_n=﹣1×2¹﹣（2²+2³+…+2ⁿ）+n2 ⁿ⁺¹=（n﹣1）2 ⁿ⁺¹+2
∴Tn=（n﹣1）2 ⁿ⁺¹+2

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}中，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。