已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，数列{bn}满足bn+2﹣2bn+1+bn=0，且b3=11，前9项和为153．求数列{an}

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

n²+

n，数列{b_n}满足b_n+2﹣2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

，数列{c_n}的前n项和为T_n，若对任意正整数n，
T_n∈[a，b]，求b﹣a的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为S_n=

n²+

n，
当n≥2时，a_n=Sn﹣S_n﹣1=n+5，
当n=1时a₁=S₁=6，满足上式，
所以a_n=n+5，
又因为b_n+2﹣2b_n+1+b_n=0，
所以数列{b_n}为等差数列，
由S₉=

=153，b₃=11，
故b₇=23，
所以公差d=

=3，
所以b_n=b₃+（n﹣3）d=3n+2，
（2）由（1）知
c_n=

=

=

（



），
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n=

[（1﹣

）+（

﹣

）+…+（

﹣

）]=

（1﹣

）=

，又因为T_n+1﹣T_n=

﹣

=

＞0，
所以{T_n}单调递增，
故（T_n）_min=T₁=

，
而T_n=

＜

=

，
故

≤T_n＜

，
所以对任意正整数n，T_n∈[a，b]时，a的最大值为

，b的最小值为

，
故（b﹣a）_min=

﹣

=

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。