设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=﹣man对于任意的正整数n都成立，其中m为常数，且m＜﹣1．求证：数列{an}是等比数列；设

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）﹣ma_n对于任意的正整数n都成立，其中m为常数，且m＜﹣1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足：

，b_n=f（b_n﹣1）
（n≥2，n∈N），求证：数列{

}是等差数列，并求数列{b_nb_n+1}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知S_n=（m+1）﹣ma_n；S_n+1=（m+1）﹣ma_n+1，相减，
得：a_n+1=ma_n﹣ma_n+1，即

=

，
所以{a_n}是等比数列
（2）当n=1时，a₁=m+1﹣ma₁，则a₁=1，从而b₁=

，
由（1）知q=f（m）=

，
所以b_n=f（b_n﹣1）=

（n≥2）
∴

=1+

，
∴数列{

}是首项为

，公差为1的等差数列
∴

=3+（n﹣1）=n+2，
故：b_n=

    （n≥1），
∴b_nb_n+1=

=



；
∴数列{b_nb_n+1}的前n项和A=（

﹣

）+（

﹣

）+…+（

﹣

）=

﹣

=

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。