设数列{an}满足，令．试判断数列{bn}是否为等差数列？若，求{cn}前n项的和Sn；是否存在m，n使得

题文

设数列{a_n}满足

，令

．
（1）试判断数列{b_n}是否为等差数列？
（2）若

，求{c_n}前n项的和S_n；
（3）是否存在m，n（m，n∈N*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知得

=

，
∴

，
∵


所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1
∴b_n+1=b_n+1，
所以数列{b_n}为等差数列；
（2）由（1）得：b _n+1=b_n+1且b₁=1，
∴b_n=n，即

，
∴

，
∴

=

，则





     =

；
（3）设存在m，n满足条件，则有1

a_n=a_m²
∴

，
即4（n²﹣1）=（m²﹣1）²，所以m²﹣1必为偶数，设为2t，则
n²﹣1=t²，∴n²﹣t²=1
∴（n﹣t）（n+t）=1，
∴有

或

，
即n=1，t=0，
∴m²﹣1=2t=0，
∴m=1与已知矛盾．
∴不存在m，n（m，n∈N*，m≠n）使得1，a_m，a_n三个数依次成等比数列．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足，令．（1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。