已知函数f、g对任意实数x、y都满足条件①f=3f，且，②g=g+2y，且g=15，

题文

已知函数f（x）、g（x）对任意实数x、y都满足条件
①f（x+1）=3f（x），且

，
②g（x+y）=g（x）+2y，且g（6）=15，（n为正整数）
（1）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（2）设an=g[f（n）]，求数列{a_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由条件①中f（x+1）=3f（x），得

为常数，
可知{f（n）}是以3为公比的等比数列，
又∵f（1）=f（1+0）=3f（0）=1，
∴f（n）=1×3 ^n﹣1=3 ^n﹣1
在条件②中，令x=n，y=1，得
g（n+1）=g（n）+2，
可知{g（n）}是以2为公差的等差数列，
∴g（n）=g（6）+（n﹣6）

2=2n+3，
即g（n）=2n+3
（2）由（1）得
a_n=g[f（n）]=2f（n）+3=2×3 ^n﹣1+3，
∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

=3ⁿ+3n﹣1．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）、g（x）对.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。