已知数列{an}中，a1=1，a n+1 a n﹣1=ana n﹣1+an2，且=kn+1．求证：k=1；求数列{an}的通

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a _n+1 a _n﹣1=a_na _n﹣1+a_n²（n∈N，n≥2），且

=kn+1．
（1）求证：k=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{

}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵

=kn+1，a₁=1
故


又因为a₁=1，a _n+1 a _n﹣1=a_na _n﹣1+a_n²（n≥2）则


，
即


∵


∴a₂=2k
∴k+1=2k
∴k=1.
（2）∵

=n+1
∴a_n=



=n（n﹣1）（n﹣2）…2

1=n!
（3）因为

，设其前n项和为 S_n，
当x=1时，

，
当x≥1时，

…（1）
x

…（2）
由（1）﹣（2）得：


∴


综上所述：

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，a .....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。