已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣n﹣1+2．令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=﹣a_n﹣（

）^n﹣1+2（n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=

a_n，若T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）在S_n=﹣a_n﹣（

）^n﹣1+2中
令n=1可得
S₁=﹣a₁﹣1+2=a₁
即a₁=


当n≥2时，a_n=S_n﹣S _n﹣1=﹣a_n+a _n﹣1+


∴2a_n=a _n﹣1+


即


∵b_n=2ⁿa_n，
∴b_n﹣b _n﹣1=1
即当n≥2时，b_n﹣b _n﹣1=1
又∵b₁=2a₁=1
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
∴


∴


（2）由（1）得

，
∴

…+（n+1）

  ①


=2×

+3×

+4×

+…+（n+1）

   ②
由①﹣②得


=1+

+

+…+

﹣（n+1）

=

﹣


∴T_n=3﹣

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。