在数列{an} 中，a1=1，an+1=1﹣，bn=，其中n∈N+，求证：数列{bn} 是等差数列，并求数列{an} 的通项公式an；设cn=

题文

在数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=1﹣

，b_n=

，其中n∈N⁺，
（Ⅰ）求证：数列{b_n} 是等差数列，并求数列{a_n} 的通项公式a_n；
（Ⅱ）设c_n=

a_n，数列{C_nC_n+1} 的前n项和为T_n，是否存在正整整m，使得T_n＜

对于n∈
N⁺恒成立，若存在，求出m的最大值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

 （1）证明：∵a₁=1，a_n+1=1﹣

，b_n=

，
∴b_n+1﹣b_n=


=


=

﹣

=2（n∈N*）
∴数列{b_n}是等差数列，
∵a₁=1，∴b₁=

=2，
∴b_n=2+（n﹣1）×2=2n，
由b_n=

，得2a_n﹣1=

=

，（n∈N*）
∴a_n=

．
（2）∵c_n=

a_n=

=

，
∴C_nC_n+1=

=

，
∴T=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1=（1﹣

）+（

）+（

）+…+（

）=1﹣

＜1，
∵T_n=1﹣

＜

对于n∈N⁺恒成立，
∴

，
∴m≤2，所以m的最大值为2．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an} 中，a1=1，an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。