各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且点在函数的图象上，求数列{an}的通项公式；记，求证：．

题文

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，S_n）在函数

的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记

，求证：

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）解：∵点（a_n，S_n）在函数

的图象上，
∴S_n=

a_n²+

a_n﹣3；S_n﹣1=

a_n﹣1²+

a_n﹣1﹣3（n≥2）
∵S_n﹣S_n﹣1=a_n，
∴（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1﹣1）=0
∵数列{a_n}各项均为正数
∴a_n﹣a_n﹣1﹣1=0（n≥2）
∴数列{a_n}为等差数列
∵S₁=a₁=

a₁²+

a₁﹣3
∴a₁=3
∴a_n=a₁+（n﹣1）d=2+n
（2）证明：b_n=na_n=n（n+2）
∴


∴

=


=

＜


∴

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“各项均为正数的数列{an}的前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。