对于项数为m的有穷数列{an}，记bk=max{a1，a2，…，ak}，即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{

题文

对于项数为m的有穷数列{a_n}，记b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}（k=1，2，…，m），即b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最大值，并称数列{b_n}是{a_n}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5。
（1）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a_n}。
（2）设{b_n}是{a_n}的控制数列，满足a_k+b_m-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：b_k=a_k（k=1，2，…，m）。
（3）设m=100，常数

，若

，{b_n}是{a_n}的控制数列，求（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）数列{a_n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；
（2）∵b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}，b_k+1=max{a₁，a₂，…，a_k+1}，
∴b_k+1≥b_k
∵a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，
∴a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即a_k+1≥a_k，
∴b_k=a_k。
（3）对k=1，2，…25，
a_4k-3=a（_4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），
a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，
比较大小，可得a_4k-2＞a_4k-1，
∵

＜a＜1，
∴a_4k-1-a_4k-2=（a-1）（8k-3）＜0，
即a_4k-2＞a_4k-1； a_4k-a_4k-2=2（2a-1）（4k-1）＞0，
即a_4k＞a_4k-2，
又a_4k+1＞a_4k，
从而b_4k-3=a_4k-3，b_4k-2=a_4k-2，b_4k-1=a_4k-2，b_4k=a_4k，
∴（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀） =（a₂-a₃）+（a₆-a₇）+…+（a₉₈-a₉₉）
= 

（a_4k-2-a_4k-1）
=（1-a）

（8k-3）
=2525（1-a）。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“对于项数为m的有穷数列{an}，记.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。