已知函数，m为正整数．求f+f和f+f的值；若数列{an}的通项公式为，求数列{an}的前

题文

已知函数

，m为正整数．
（I）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1﹣x）的值；
（II）若数列{a_n}的通项公式为

（n=1，2，…，m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（III）设数列{b_n}满足：

，b _n+1=b_n²+b_n，设

，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于3的正整数n，

恒成立，试求m的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）

=1；
f（x）+f（1﹣x）=

=

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

，即

=1，
∴a_k+a _m﹣k=1，
由S_m=a₁+a₂+a₃+...+a _m﹣1+a_m，①
得S_m=a _m﹣1+a _m﹣2+a _m﹣3+...+a₁+a_m，②
由①+②，得2S_m=（m﹣1）×1+2a_m，
∴

，
（Ⅲ）∵

，b _n+1=b_n²+b_n=b_n（b _n+1），
∴对任意的n∈N*，b_n＞0．
∴

，即

．
∴

+…+

．
∵b _n+1﹣b_n=b_n²＞0，
∴b _n+1＞b_n，∴数列{b_n}是单调递增数列．
∴T_n关于n递增．当n≥3，且n∈N⁺时，T_n≥T₃．∵


∴

．
∴

，
∴m＜650. 5，而m为正整数，
∴m的最大值为650．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，m为正整数．（I）求f（.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。