设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表：上表共有n行，其中第1行的n个数为a1，a2，a3…an，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两

题文

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：

上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃…a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，b₃…b_n． （1）求证：数列b₁，b₂，b₃…b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k﹣1（k=1，2，…，n），求和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由题设易知，

=

，


=

．
设表中的第k（1≤k≤n﹣1）行的数为c₁，c₂…c_n﹣k+1，显然c₁，c₂…c _n﹣k+1，成等差数列，
则它的第k+1行的数是c₁+c₂，c₂+c₃…c _n﹣k+c _n﹣k+1也成等差数列，
它们的平均数分别是

，
b _k+1=c₁+c _n﹣k+1，
于是

（1≤k≤n﹣1，k∈N*）．
故数列b₁，b₂…b_n是公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，

=

，
故当a_k=2k﹣1时，

，

．
于是

n

．         
设

，则S=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n﹣1）×2 ^n﹣1  ①
2S=12+3×2²+…+（2n﹣3）×2 ^n﹣1+（2n﹣1）×2ⁿ   ②
①﹣②得，﹣S=1×2⁰+2（2+2²+…+2 ^n﹣1）﹣（2n﹣1）2ⁿ，
化简得，S=（2n﹣1）2ⁿ﹣2 ⁿ⁺¹+3，
故

=n（2n﹣1）×2n﹣n×2 ⁿ⁺¹+3n．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是有穷等差数列，给出.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。