等差数列{an}中，a1=1，前n项和Sn满足条件，求数列{an}的通项公式和Sn；记bn=an2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

等差数列{a_n} 中，a₁=1，前n项和S_n满足条件

 ，
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式和S_n；
（Ⅱ）记b_n=a_n

2^n﹣1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由

 =4得

 =4，
所以a₂=3a₁=3且d=a₂﹣a₁=2，
所以a_n=a₁+（n﹣1）d=2n﹣1，


  = 


（Ⅱ）由b_n=a_n

2^n﹣1，得b_n=（2n﹣1）

2^n﹣1．
所以T_n=1+3

2¹+5

2²+…+（2n﹣1）

2^n﹣1      ①
2T_n=2+3

2²+5

2³+…+（2n﹣3）

2^n﹣1+（2n﹣1）

2ⁿ     ②
①﹣②得：﹣T_n=1+2

2+2

2²+…+2

2^n﹣1﹣（2n﹣1）

2ⁿ
=2（1+2+2²+…+2^n﹣1）﹣（2n﹣1）

2 ⁿ﹣1
=2× 

﹣（2n﹣1）

2ⁿ﹣1
=2ⁿ

（3﹣2n）﹣3．
∴T_n=（2n﹣3）

2ⁿ+3．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，a1=1，前n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。