已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，其中λ为实数，n为正整数．对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；试判断数列{bn}是否为等比

题文

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，

其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前项n和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜
S_n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a_n｝是等比数列，则有a₂₂=a₁a₃，
即

矛盾．
所以｛a_n｝不是等比数列．
(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］
=(-1)ⁿ⁺¹(

a_n-2n+14)=

(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-

b_n
又b₁x-(λ+18)，所以当λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺)，此时｛b_n｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b₁=(λ+18) ≠0，
由上可知b_n≠0，∴

(n∈N⁺)．
故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－

为公比的等比数列．
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．
∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－

）^n-1，
于是可得S_n=-


要使a<S_n<b对任意正整数n成立，即a<-

(λ+18)·［1-（-

）n］〈b(n∈N⁺)              


   ①
令

，则当n为正奇数时，1<f(n)


∴f(n)的最大值为f(1)=

，f(n)的最小值为f(2)=

，
于是，由①式得

a<-

(λ+18)<


当a<b

3a时，由－b-18

=-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a<S_n< b．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}和{bn}满足：.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。