已知数列{an} 的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，；数列{bn}中，b1=1，点p在直线x-y+2=0上．求

题文

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3，…）；数列 {b_n}中，b₁=1，点p（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n} 和 {b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn+12}的前n和为S_n，求1S1+1S2+…+1Sn；
（Ⅲ）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且c_n=a_n•b_n，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），…（1分）
即a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列．
∵a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴a_n=2ⁿ．                           …（3分）
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是等差数列，
又b₁=1，∴b_n=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）由题意可得bn+12=n，∴S_n=n(n+1)2，…（6分）
∴1Sn=2（1n-1n+1），…（7分）
∴1S1+1S2+…+1Sn=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=2nn+1．…（9分）
（Ⅲ）∵cn=an•bn=(2n-1)•2n…（10分）
∵Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1…（11分）
两式相减得：-Tn=2+2×(22+23+24+…+2n)-(2n-1)2n+1
=-6-（2n-3）2ⁿ⁺¹…（13分）
∴Tn=6+(2n-3)2n+1…（14分）

解析

bn+12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an} 的前n项和为Sn，且S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。