设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，an+1=3Sn+1，n∈N*．写出a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；记Tn为数列{nan}

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足b₁=0，b_n-b_n-1=log₂a_n（n≥2），求数列{b_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知得，a₂=4，a₃=16．…（2分）
由题意，a_n+1=3S_n+1，则当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．
两式相减，得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（3分）
又因为a₁=1，a₂=4，a 2a1=4，
所以数列{a_n}是以首项为1，公比为4的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式是an=4n-1（n∈N^*）．…（5分）
（Ⅱ）因为Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，
所以4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，…（6分）
两式相减得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=1-4n1-4-n•4n，…（8分）
整理得，Tn=3n-19•4n+19（n∈N^*）．…（9分）
（Ⅲ） 当n≥2时，依题意得b₂-b₁=log₂a₂，b₃-b₂=log₂a₃，…，b_n-b_n-1=log₂a_n．
相加得，b_n-b₁=log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n．…（12分）
依题意log2an=log24n-1=2(n-1)．
因为b₁=0，所以b_n=2[1+2+…+（n-1）]=n（n-1）（n≥2）．
显然当b₁=0时，符合．
所以b_n=n（n-1）（n∈N^*）．…（14分）

解析

a 2a1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。