对于数列A：a1，a2，a3，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai-ai+1|，

题文

对于数列A：a₁，a₂，a₃（a_i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2），且b₃=|a₃-a₁|．这种“T变换”记作B=T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c_l，c₂，c₃，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
（Ⅰ）写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₃不全相等，判断数列A：a₁，a₂，a₃经过不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；
（Ⅲ）设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）依题意，5次变换后得到的数列依次为
4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2…（3分）
所以，数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列为2，0，2，…（4分）
（Ⅱ）数列A经过不断的“T变换”不可能结束
设数列D：d₁，d₂，d₃，E：e₁，e₂，e₃，F：O，0，0，且T（D）=E，T（E）=F
依题意|e₁-e₂|=0，|e₂-e₃|=0，|e₃-e₁|=0，所以e₁=e₂=e₃
即非零常数列才能通过“T变换”结束．…①…（6分）
设e₁=e₂=e₃=e（e为非零自然数）．
为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能
D：d₁，d₁+e，d₁+2e，D：d₁，d₁+e，d₁；D：d₁，d₁-e，d₁，D：d₁，d₁-e，d₁-2e；
而任何一种可能中，数列E的笫三项是O或2e．
即不存在数列D，使得其经过“T变换”成为非零常数列．…②…（8分）
由①②得，数列A经过不断的“T变换”不可能结束．
（Ⅲ）数列A经过一次“T变换”后得到数列B：398，401，3，其结构为a，a+3，3．
数列B经过6次“T变换”得到的数列分别为：3，a，a-3；a-3，3，a-6：a-6，a-9，3；3，a-12，a-9；a-15，3，a-12；a-18，a-15，3．
所以，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18．    …（10分）
因为398=18×22+2，所以，数列B经过6×22=132次“T变换”后得到的数列为2，5，3．
接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，…．
至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．…（12分）
所以经过1+132+3=136次“T变换”得到的数列各项和达到最小，
即k的最小值为136．   …（13分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。