已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn=3an-3．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}的通项公

题文

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，满足关系式2S_n=3a_n-3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式是bn=1log3an(log3an+1)，前n项和为T_n，求证：对于任意的正整数n，总有T_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知得2Sn=3an-32Sn-1=3an-1-3，n≥2
故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1
即a_n=3a_n-1，n≥2
故数列a_n为等比数列，且q=3
又当n=1时，2a₁=3a₁-3，∴a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，n≥2．
而a₁=1亦适合上式
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）bn=1n(n+1)=1n-1n+1
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-12)+(12-13)  +…+(1n-1n+1)
=1-1n+1＜1．

解析

2Sn=3an-32Sn-1=3an-1-3，n≥2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。