已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=1an•an+1，Tn为数列{b

题文

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前 n项和，且满足a2n=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=1an•an+1，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在a2n=S2n-1中，令n=1，n=2，
得a12=S1a22=S3，即a12=a1(a1+d)2=3a1+3d        …（1分）
解得a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
又∵a_n=2n-1时，Sn=n2满足a2n=S2n-1，∴a_n=2n-1…（2分）
∵bn=1an•an+1=12(12n-1-12n+1)，
∴T_n=12（1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=n2n+1．   …（4分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜(n+8)(2n+1)n=2n+8n+17恒成立．    …（5分）
∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ 需满足λ＜25．              …（6分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜(n-8)(2n+1)n=2n-8n-15恒成立．      …（7分）
∵2n-8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-8n取得最小值-6．
∴此时λ 需满足λ＜-21．            …（8分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． …（9分）
（3）T1=13， Tm=m2m+1， Tn=n2n+1，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(m2m+1)2=13(n2n+1)，
即m24m2+4m+1=n6n+3．                           …（10分）
由m24m2+4m+1=n6n+3，可得3n=-2m2+4m+1m2＞0，即-2m²+4m+1＞0，
∴1-62＜m＜1+62．                 …（11分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12…（12分）
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列T₁，T_m，T_n中的T₁，T_m，T_n成等比数列．…（13分）

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是各项均不为0的等差数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。